Étude du déplacement d'un chariot

On considère un chariot qui se déplace suivant une trajectoire rectiligne horizontale.
Le chariot est programmable et on peut, notamment, le faire déplacer selon un mouvement accéléré.
Afin de vérifier son fonctionnement, après programmation, on réalise des relevés de position de ce chariot en fonction du temps pendant la phase de démarrage.​​​​​

Partie A : étude des résultats expérimentaux

On note \(x(t)\) la distance (en centimètres) parcourue par le chariot depuis sa position de départ à l’instant \(t\) (en secondes).
On effectue un relevé de la distance parcourue toutes les \(0{,}05\) secondes :

 \(\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline t & 0 & 0{,}05 & 0{,}1 & 0{,}15 & 0{,}2 & 0{,}25 & 0{,}3 & 0{,}35 & 0{,}4 & 0{,}45 & 0{,}5 \\ \hline x(t) & 0 & 0{,}05 & 0{,}36 & 1{,}15 & 2{,}56 & 4{,}69 & 7{,}56 & 11{,}15 & 15{,}4 & 20{,}05 & 25 \\ \hline\end{array}\)

1. Calculer la vitesse moyenne du chariot sur la durée totale du parcours.
2. Calculer la vitesse moyenne du chariot entre les instants \(0{,}1\) et \(0{,}3\).
3. Proposer une valeur approchée de la vitesse à l'instant \(t=0{,}15\) en justifiant les choix effectués.

Partie B : modélisation mathématique

À l'aide d'un tableur, on cherche une fonction qui peut modéliser la distance parcourue par le chariot sur l'intervalle de temps \([0\,;0{,}5]\) en ajustant les mesures expérimentales par une courbe de tendance.
On donne ci-dessous trois modélisations possibles. Pour chaque modèle, une équation de la courbe tendance est donnée, ainsi qu'un coefficient noté \(\mathrm{R}^2\), compris entre \(0\) et \(1\). Il permet d'avoir une estimation de l'adaptation de la courbe de tendance aux données d’un graphique.

• Si \(\mathrm{R}^2\) est proche de \(1\), cela veut dire que la courbe suit bien les points : la fonction que l'on a représentée est un bon modèle.
  
• Si \(\mathrm{R}^2\) est proche de \(0\), la courbe se détache sensiblement des données : la fonction que l'on a représentée est un modèle moins bien adapté.
  

Distance parcourue par le chariot en cm en fonction du temps en s

1. Indiquer lequel des modèles proposés est le plus adapté en justifiant.
2. En utilisant le modèle établi à la question 1., calculer la dérivée de la fonction représentée à l'instant \(t=0{,}15\). Comparer ce résultat avec l'estimation de la vitesse instantanée réalisée dans la partie A.
3. Sachant que l'accélération du mobile à l'instant \(t\) est la dérivée de la fonction vitesse du mobile à l'instant \(t\) , avec ce même modèle, calculer l'accélération instantanée du chariot à l'instant \(t=0{,}2\).